單車路線分析 part 2

騎乘方式的標準化（繼續...）

接下來的問題是，航程是由許多航段組成的，我們如何評估整個航程的費力指數。從上一篇文章我們得這個公式：

　P = ( Rr + Ra + Fg) x V

其中滾動阻力是由總重及輪胎而定，重力的分力是依照地形條件，這兩者都視為已知。但速度卻是未知的，而空氣阻力又跟速度有關。所以letsbike大的想法是正確的，必須要設定一個「標準的速度」代入。但怎麼樣得到標準的速度呢？

開始標準化之前要先了解兩件事。

理論上，我們可以透過改變齒輪比（變速）、以及改變踩踏迴轉速，來使得輸出的動力恆定（心跳速維持一定）。所以不管是什麼樣的坡度，理論上騎起來都可以「一樣輕鬆」，只是前進的速度不一樣。

那為什麼我們會覺得「騎平地很輕鬆，騎山路很累呢？」

可能的原因是，我們在平路或下坡時其實可以騎得更快，但通常不這麼做，以便得到休息。反而在上坡時「選擇」出比較多的力氣。也就是所謂的「配速」。

這時另一件有趣的事又來了。在一段看得到盡頭的爬坡，我們能夠預知還需要出多少力，因此比較容易維持均衡的出力，甚至會增加出力一口氣抽車上去。但是在看不見終點的漫漫長坡就不一樣了。大部份人一開始可能會利用平緩路段先加速衝一段，然後會「慢慢沒力」而逐漸降檔。一開始可能在五六檔，到坡頂時已經打到變速器的極限，但踩踏迴轉速卻也不見得按比例提昇。也就是說，實際輸出的動力會一直下降。

這已經不在「意志力」能控制的範圍了，而跟「體力」有關。什麼是「體力」呢？根據我遙遠的記憶，我高中生物老師是這樣說的（非我專長，如有誤請指正）：人體活動的能量並不直接來自葡萄糖與脂肪酸，而是由粒線體把這些能源轉化成ATP ，以化學能的方式暫存。ATP所帶的能量被消耗掉以後就會轉成ADP和AMP（磷酸基一個一個用掉），需要再靠粒線體再合成ATP，其「粒線體的數量」和「合成速率」就是問題的所在。如果你輸出的動力（消耗能量的速率）超過身體產生能量（以下簡稱「補血」）的速率，你能輸出的動力就會下降。當你輸出的動力等於補血的速率，你的動力就能源源不絕。

拿受過訓練的運動員和一般人做比較，運動員可以長時間維持一個較高的動力輸出，而一般人可能只能持續輸出不到一半的動力。NASA對此做過實驗。一個健康的普通人大概只能維持200W的動力大約一小時；但如果是以100W的動力輸出，騎個三、四小時不成問題；如果想騎到八小時，動力輸出大概只能有70W。相對地，一流的運動員可以有兩倍以上的動力輸出。這裡指的都是平均出力，而非最大出力。人可以在短時間內提昇出力，但接下來勢必得降低出力來使體力恢復。

除了補血的速率以外，乳酸的堆積也會使人感到腿好重抬不起來，導致動力的輸出降低。運動員排除乳酸的能力也優於普通人。

回到我們一開始的問題，騎一段坡度固定的斜坡，在理論上我們可以維持一定的動力爬坡（踩踏迴轉速和腿力可能變化，但維持一定心跳速），但通常我們並不會這樣做，原因在於配速的習慣。所以我們有以下兩種假設條件：

一、假設有一個完美車手，具備了完美的變速技巧及踩踏技巧，能夠在任何情況之下維持完全一樣的輸出動力。

二、假設有一個普通人，有著正常人的慾望和衝動，也有著不甚睿智的判斷力和固執的配速策略。在能省力時他會偷懶，在要爬坡時又會賣力演出。

前者的完美車手可以使問題變得單純化，因為各航段的坡度不管怎麼變，我們都假設其輸出動力是固定的。但是後者更接近於實際的「體感困難度」，因為人非聖賢，經常會做些無謂衝刺來消耗體力。這就使得速度的設定變得複雜，因為在不同的坡度時可能有策略上的配速導致輸出動力並非總是100%。就算在同一段坡上，長坡、短坡也會因配速及體力因素使得輸出動力會在100%上下波動。

為了使計算能繼續進行下去，即使人非聖賢，我們還是必須做一些標準化設定。方法其實就跟letsbike大所說的一樣，自己實驗記錄一下。當然，在不同的情況之下其變異是很大的，而且條件也不可能很理想地標準化（比方說，6%的坡，長100m與長1km的騎乘速度大概不可能一樣）。但是這一切都只是為了使分析結果「比較」接近真實的感受，就算不太準也無妨。只要有一個標準的設定，我們就能使所有的路線都站在一樣的標準做比較，這才是最重要的。

因此我先用我自己的資料輸入試算，在平地時，我大概可以維持25kph的速度騎七、八個小時。在8%或更陡的陡坡，我多半會努力維持5kph的速度，但可能只能維持二十分鐘就得休息一下。這並不是我的最大動力，只是在我的體力、腿力、耐力的條件下，我通常會採取的速度。



由試算表得知，在平地時只要90.4W就能維持25kph，但爬8%的坡我需要輸出118.4W的動力才能達到5kph，大約是增加了30%的出力，蠻符合實際情況和身體感受。

於是我假設在不同坡度時，我的動力輸出是按線性比例增加輸出動力（如圖中那條細細的紅線）。由「理論動力圖」上查出騎乘速度。

坡度	騎乘速度(kph)
0%	25.0
1%	18.5
2%	14.0
3%	11.0
4%	8.8
5%	7.4
6%	6.4
7%	5.5
8%	5.0
9%	5.0
10%	5.0

那麼，當下坡（坡度為負）的時候呢？代入同樣的算式，得到另一張理論動力圖。

從圖中可以發現，當坡度為-2%，速度為25kph時，功率值是負的！這表示不但不用踩就能前進，還得要按煞車才不會愈衝愈快。而當坡度為-4%時，大約可以在53kph時與空氣阻力達到平衡，維持定速。當坡度比-4%陡時，基本上不按煞車就有可能衝到破錶了。

通常在緩下坡時我仍然會順勢稍微踩踏以提昇速度，但是到不用踩也能以35kph前進的坡度，乾脆就休息吧。超過這個坡度，就不需要動力輸出了。所以下坡的情況我設定如下：

坡度	騎乘速度(kph)
0%	25.0
-1%	29.5
-2%	34.5
-3%～	Not necessary

明明下坡沒有出力，卻因為有位移而被算了進去，是不合理的。以功率來計算「費力程度」，就可以避免掉這個問題。有了上述的假設速度，就可以算出每一種坡度的功率，進而計算出一個航段的「費力程度」。


GPS坡度計算小撇步

航段長度愈短，計算的平均坡度愈接近實際情況（微分的概念）。但是電子氣壓計的最小刻度是1m，而且也不是那麼精準。以5%的坡來說，要前進20m才會上昇1m。如果航段長度太短的話，算出來的坡度誤差會很大。

為了使平均坡度盡量接近實際情況，但同時減少誤差，不妨把GPS記錄航跡的設定選為「依距離間隔（固定航段的距離）」，間隔設為0.01km。（GPS其實也不會準準地每隔10m記一次啦，只是讓各航段長度比較接近而已）。用Excel處理時則以3或5個航段來來計算平均坡度，誤差會小一點，也比較能反應實況。

有的時候電子氣壓計會突槌，使得航段坡度算出20~30%的跨張數字。以公路設計的角度來看當然是不合理的。所以在試算表裡也應該加入一個過濾的式子，我設定為坡度超過±15%時，改取前後兩航段坡度的平均。

當航程較長，騎乘時間超過半天，可能天氣（氣壓）已經發生變化。如果路線是O行或是原路折返，當回到起點時會發現高度不閉合的情況。實際上這並沒有多大影響，因為平均攤到各航段計算平均坡度時，其小小影響已經被分散且四捨五入給消除掉了。

整個航程的費力程度

把數字都代入後，即可算出每一「航段」的費力程度，但要如何加總成整個「航程」的費力程度呢？

把各航段的「功率」直接加起來是沒有意義的，「功率」只是「做功的速率」。我們必須把「功率」乘上「時間（用設定騎速算出來的理論時間）」，得到「功」。然後把各航段的「功」加起來，就可以得到全部航程的「總做功」。「功」的單位是「焦耳（能量）」，所以我們也可以把它稱作路線的「總耗能」。這樣一來即便是100km的平路和10公里的山路，也可以放在一樣的平台上來比較費力程度。

這裡的「功」與caf大剛開始想到的「功」有一點不同。只看位移，而把所施的力假設為固定是不合理的，這一點後來caf大也發現了。因為有空氣阻力的存在，所施的力會一直隨著速度改變。就算硬保持速度不變，在不同的坡度上，所施的力也會改變。而下坡時只靠重力做功就能前進，有位移卻不需要出力。所以不能把施力視為常數而忽略。

「疲勞」的影響

到此為止，我們已經試著把「費力」的程度用一個指數表示出來。但是在上一篇文章的最前頭，我們提到「困難度」包括了「費力」和「疲勞」兩個層面。

那如何反應「疲勞」呢？ 「疲勞」對路線「困難度」的影響可以舉Never Stop系列路線的比較來說明，以下這三條路線的記錄都是三個小時出頭。

	路線	陽明山 P字山道	水里 塔塔加	埔里 武嶺
	總長度	72.8km	71.5km	53.9km
	總爬昇高度	3200m	2572m	2998m
	總下降高度	2510m	245m	204m

(取自網路資料，不一定準）

從中不難發現，陽明山跟塔塔加的總長度很接近，而塔塔加的爬昇高度不及陽明山，可是許多人卻認為這兩條路線差不多難。陽明山P字山道在不到45km內要爬昇3200m，而武嶺則是在54km內爬昇3000m，可是大多數人卻認為武嶺比較難。

主要的原因可能是塔塔加跟武嶺幾乎是一路直上，而陽明山則有多段下滑休息的機會（當然也有一些是因為高海拔空氣稀薄）。所以路線之中是否有休息的機會，對困難度有很大影響。雖說騎完全程所消耗的總能量大致可以客觀地計算出來，但卻不見得跟「困難度」的感受相吻合。

然而每個人補血的速率、排除乳酸的速率差異很大，要用數學模型去描述這樣生理反應並不容易。在還沒有想到更好的方法之前，不妨加上一兩個額外的指標來輔助描述這種路況。例如Caf大把坡度分級後用比例表示是個不錯的方法。當路線總耗能相近時，可以比較坡度比例就可以分出高下。但是當兩者都不同時，就很難分出高下了，這個後續再慢慢研究。

範例：陽明山"O"字山道

路線名稱：陽明山"O"字山道（至善公園→仰德大道→陽金公路→金山→大鵬國小加投路→大坪國小→風櫃嘴→至善公園）
路線總長度：65.42km
路線總爬昇：1728m
路線總下滑：1780m（理論上應與總爬昇相同，但有誤差使高程未閉合）
>1%爬坡段長度：25.29km
>1%爬坡段比例：38.65%
>5%陡坡長度：14.21km
>5%陡坡比例：21.72%
路線總耗能：182萬7191焦耳

上 圖是用顏色來區分坡度的距離－高度圖，愈深色愈陡，愈淺色愈緩，綠色則是接近平坦，藍色是下坡。另外因為每條路線不一樣長，同樣都放在A4大小的圖上時， 距離方向的比例會不同，而產生「這條路看起來比較緩／陡」的錯覺。所以我習慣把距離－高度圖分成每20km一張，如此一來每張圖的距離比例是一樣的，光看 圖就可以判斷哪條路陡、哪條路緩。


Excel試算表檔案

結語

也許仍有錯誤的地方，請看倌不吝指正。

如果大家覺得這個方法還行，也呼籲大家把GPS航跡記錄方式設為「依距離間隔0.01km」。比較有利於資料的標準化，減少誤差。

完

單車路線分析 part 1

前言

在mobile01單車版爬文，偶然發現了這篇文章↓↓↓（其實這篇文章被置頂，想忽略都很難）

[分享] 登山路線分析資料

在單車版指的當然是單車登山，而非健行登山。我也曾經想要把健行登山路線用一些指標來描述其難易度，但所牽涉的變數太複雜，不但難以記錄，也難以用簡單的方式表達。例如說，同樣是15%的平均坡度，輕裝重裝走起來就不一樣。此外還要考慮是否有人工台階、還是只有前人踩出來的步階？甚至根本就得要自己找腳點？每一步階的落差？路面是枕木棧道、硬土、爛泥、碎石、亂石、巨石、落葉層覆蓋？（闊葉、針葉、箭竹？）是否濕滑？有無樹根？有無青苔？是否需鑽行（箭竹、倒木、低矮喬木）？路徑是否明顯？路幅寬度？每一項都會影響抬腿爬昇和保持平衡所需的力量、以及前進的速度，不同速度對體力的消耗也不同。單一航段都這麼複雜了，就別提從登山口到山頂會遇到多少種狀況。所以不管爬哪座山，距離和爬昇高度都只能做參考，千萬別小看中級山或是不高的高山，其路線可能非常硬斗。

但單車就不一樣了，大部份的單車路線都是在公路上（多半是柏油路）。公路本身除了坡度急緩之外，其他變因對難度的影響並不大。所以用一個簡單的指標來表示困難度應該是可行的！

mobile01上caf667大的這串文章引起廣泛的討論，利用Excel來分析GPS的航跡資料，得到一個簡化的指標值。其算法也經過多次的改版修正。不過總是會有人感到分析值與實際體會不同，而提出質疑。事實上，該算法確實有一些問題，使得它與事實不符：

一開始caf大直接採用高度－距離圖上的面積，但這有點無厘頭，它不只是誤差很大，而是根本就沒有意義。簡單地舉例，10公里的平路高差是0，所以高度乘以距離也是0。而10公尺長爬1公尺高的坡道，乘起來的面積是10，所以困難度比10公里的平路難無限多倍？同樣坡度的坡爬兩次，難度變成4倍？

後來caf大試著用「功」的概念去表達困難度，但只簡單地採用W = F x S。不過也出現問題，因為：

　W：功
　F：在斜面上所施的力
　S：在斜面上的位移

caf大先假設使單車前進的力為固定（問題之所在），所以困難度只取決於位移。但是拿距離和高度的平方和再開根號就會發現，這只是斜坡道的斜面長而已，完全不能反應困難度。而且在下坡路段仍然有位移，但卻完全不需要出力，理論上應該不需要做功才對（交給重力做功即可）。

接著同樣以功的概念，但又加入了「垂直爬昇 = 位能增量」的觀念。不過隨即又發現變成只算了位能（只跟高度有關）而沒有算水平運動所做的功。

最後最後實在不得已，又增加了一個「施力指數」的概念。這個施力指數更神奇了，先是假設在垂直爬昇方面，所施的力會正比於坡度斜率（以百分比表示）。但隨即又發現，平路沒有坡度，可是也需要用力啊！那那那……用最平緩的坡度1%來表示水平移動所需要用的力好了。結果得到以下算式：
　
　騎乘一個坡道所需做的功約等於 水平方向作的功 + 垂直方向做的功 　
　= {水平距離(公里) * 1} + {垂直距離(公尺) * 坡度} 　
　= 水平距離(公里) + {垂直距離(公尺) * 坡度} 　
　= 騎乘距離(公里) + {爬升距離(公尺) * 坡度}

這當然是一個莫名其妙的式子，把不該乘在一起的東西乘在一起，然後把平路的施力指數1%無緣無故地乘上100之後省略掉。又因為爬昇的施力指數算起來無關痛癢，所以乘上了1000倍，擴大它的影響力……後來又出現了「肌力需求」和「體力需求」，再後面的修正就沒有說明原因了。不過似乎分析的結果大家「還算滿意」，終於有個工具可以事先評估路線之間的相對困難度，所以也沒有再進一步的進化了。

寫到這裡我必須要聲明，我完全沒有嘲諷的意思。事實上我非常佩服caf大的態度和精神，不斷地接受批評、發現錯誤、嘗試改正。而他所整理的航跡資料也都非常具有參考價值，讓我非常感動。所以當天一回到家吃飽飯就馬上撿起計算紙，重拾十年沒用過的數學。也希望補上這篇文章能讓caf大由肉身菩薩變成金身菩薩。

有沒有一個可以表達路線困難度的簡單方法呢？

首先先整理一個概念，到底什麼叫作「難」？在單車運動裡，「難」大概可以跟和「累」畫上等號。更精準一點，「累」其實包含了「費力」跟「疲勞」兩個意義。前者指的是肌肉收縮運動消耗身體能量；後者則是指身體組織因為工作而產生各種廢物堆積而給人的疲累感，會造成再出力的阻礙。注意這裡所稱的「費力」並不是指肌肉出的力道大小，而是指一段運動行為對人體來說的「負載」。

再來解析「費力」。「費力」這兩個中文字其實又有兩個層面的意義。騎同樣的坡，我們可以慢慢地輕踩龜行，也可以氣喘噓噓地硬衝上去。騎上的是同一個坡，花的時間不同，其「費力」的感受也不一樣。此時的「費力」指的不只是瞬間的腿力，也跟「一段時間內出了多少力」有關。所以「費力」程度有「功率」的概念。

我們也經常在騎完全程之後回想「這條路花了我很多體力」、「那條路我騎起來很輕鬆」，這層意義跟「一天下來累計消耗了多少能量」有關，是「功」的概念。

究竟哪一種概念比較符合「費力」的感受呢？其實兩者都有。比方說我在這條路線用野餐速度慢騎（騎了一整天），跟另一條路線用競賽標準狂飇（兩小時就結束了），事後來比較這兩條路線的「困難度」，是不準確、不客觀的。所以，大概可以得到一個簡單的結論：

我們必須在接近的「騎乘方式」下，才能比較不同路線所消耗的「體力多寡」，並藉此表達路線的困難度。

騎乘方式的標準化

所以首先要來決定用「多費力」的騎乘方式，但先得把「費力」程度給量化。對騎單車來說，我們常藉由心跳速度來了解運動的「強度」，也就是所謂的「費力」程度。騎乘動作會影響「費力」程度的因素只有兩個：踩踏腿力和踩踏迴轉速。假設每分鐘踩踏60轉，小力踩一分鐘比用力踩一分鐘要輕鬆。如果踩踏的腿力一樣大的話，每分鐘踩踏60轉比較輕鬆，但是每分鐘踩到120轉就會心跳加速氣喘噓噓了。單位時間內由心肺所輸送的氧、身體產生的能量，與肌肉所產生的運動能量是成正比的。而單位時間所輸出的能量就是「功率」，所以我們應該可以用「功率」來表示「費力」的程度。 接下來看功率的式子：

　P1 = F1 x V1
　P2 = F2 x V2

　　F1：踩踏的腿力。一般踩踏動作的出力接近於雙缸引擎，但使用卡踏並受過訓練的車手其出力比較均勻、接近多缸引擎（或電動馬達:P）。這裡取一個平均腿力（就把它當作是一顆馬達吧）。
　　V1：踩踏的迴轉速。
　　P1：踩踏輸出的功率，就是一般所稱的「動力」，汽車常用「馬力」作單位。
　　P2：系統（連人帶車）在道路上依某速度前進的「負載」（單位同功率）。

如果忽略系統內的損失（傳動損失），「馬達」的輸出功率應該等於「系統」的負載，系統的負載取決於單車前進的速度和系統所需要輸出的力。這個力指的不是腿力，而是腿力經過踏板、曲柄、大盤、鏈條、飛輪、輪組，透過輪胎與地面產生的反力，使系統前進。

　P1=P2=F2 x V2

　　V2：就是單車前進的速度，速度得愈快（V↑）就愈費力（P↑）→合理！
　　F2：是騎車所產生的力，要產生愈大的前進力（F↑）就愈費力（P↑）→合理！
　　當上坡要出比較大的力時（F↑），必須放慢速度（V↓），才不會比較費力→合理！
　　下坡時速度可以很快（V↑），卻只要出一點點力（F↓），感覺並不會比較費力→合理！

為什麼要把F1跟V1轉換成F2跟V2呢？因為F1（踩踏腿力）非固定的值，也不好量（得從鏈條張力倒推）。而V2可以由速度表測得，F2可以由外在的反力來倒推，參考下圖：
單車在平地上前進時，要維持一個固定的速度（先不考慮加減速），則所出的力就是所有阻力的總和。（若出力大於阻力，則速度會加快，反之會減速）這些阻力包括：

　Rr：滾動阻力（rolling resistance）
　Ra：風阻力（air resistance）
　Rt：傳動阻力（transmission resistance）

若是在坡道上的話，重力在斜面上的分力也會阻止單車前進，所以要加上：

　Fg：重力 於斜面方向的分力

因此功率的式子可以改寫成：

　P = ( Rr + Ra + Rt + Fg) x V

分別來看Rr、Ra、Rt和Fg：

Rr（滾動阻力）是來自於滾動物與地面的變形與還元過程。與「滑動磨擦」不同，滾動阻力所牽涉的因素非常多。對單車來說，滾動阻力主要原因是來自輪胎橡膠的變形。所以輪胎的溝痕、氣壓、胎寬、胎寬高比、胎壁厚、輪徑、輪胎重、車重、騎士體重等等都會影響滾動阻力的大小。國外有專業單車雜誌曾經對各廠牌輪胎作過測試，由該資料可以發現，同一種輪胎在40psi時，滾動阻力可能比100psi高78%。在同樣的胎壓下，胎寬和溝痕設計也可能使滾動阻力的差距達一倍之多。滾動阻力可以用以下公式求得：

　Rr = Crr x Nf 　

　　Nf：正向力，可看作一顆輪胎的載重加上其自重。單車路線的坡度通常不會太大，所以先忽略坡度對正向力的影響。 　
　　Crr：滾動磨擦係數，由實驗得知 　

Ra（空氣阻力）是所有阻力中影響最大的。扣除傳動阻力不算，在某個實驗裡，滾動阻力和空氣阻力的比例可以達到12:88！（車手重75kg，騎乘姿勢的前投影面積0.45m2，車重9kg，車速44kph）而車手本身的空氣阻力大約佔75%，車子只佔25%。空氣阻力的算法如下：

　Ra = (ρ x Cw x A x V^2) / 2 　

　　ρ：空氣密度 　
　　Cw：風阻係數，由風洞試驗測得 　
　　A：有效截面積，也是由試驗測得 　
　　V：速度

注意到空氣阻力正比於速度的平方！車速愈快，空氣阻力上升得愈快！

Rt（傳動阻力）指的是齒動、鏈條、花鼓等等傳動系統的阻力，大約會消耗車手3~5%的動力。比例上不是很多，先忽略它。

Fg（重力在斜坡面上的分量）在坡度提昇之後，其影響力會大符超越空氣阻力。它的算法是：

　Fg = Wt x G x sinθ = G x sin(arctan(r)) 　

　　Wt：連車帶人的質量
　　G：重力加速度
　　θ：坡度（度）
　　r：坡度（以百分比表示的坡度，等於高度除以距離）

好，真是落落長。如果我們忽略傳動阻力，式子整理一下會變成：

　P = ( Rr + Ra + Fg) x V

只要代入右邊的數字，就可以得到一個功率值，來表示該旅段的「費力」程度。但這裡有點頭大，因為風阻係數和有效截面積都得由實驗取得（跟車手身材及騎乘動作關係很大，與車架、輪組的設計也有關），而我一時之間在網路上找不到堪用的數據……orz（請熱心網友提供）。

小結

到這裡暫時告一段落。回顧一下，我們以「功率」值來表示一個航段的「費力程度」，因為「輸出動力」與「身體產生能量、肌肉收縮運動的速率」是接近的。在固定單車設定（同一輛單車、同一個車手、同樣的姿勢）且忽略外在風速風向的情況下，這個指數只跟騎乘速度、坡度、和空氣阻力有關。其中空氣阻力又跟騎乘速度有關，所以不能忽略速度的因素。藉由已經量化的「費力程度」，就可以把「騎乘方式」給標準化，待下一篇文章說明。

後記

閉門造車在計算紙上塗塗改改，整理算式。等到車造好了，開始在網上搜尋必要的參數時，發現了一堆早就整理好的網頁（搜尋bicycle science就會有一大把），尤其是有這個動力計算機跟這個，挺方便的。當然它們都已經做了一些假設來簡化了。驗証了一下並沒有什麼出入，所以前述拉里拉紮談的一大堆應該是合理的。

待續......