2008-07-23

單車路線分析 part 1

前言

mobile01單車版爬文,偶然發現了這篇文章↓↓↓(其實這篇文章被置頂,想忽略都很難)

[分享] 登山路線分析資料


在單車版指的當然是單車登山,而非健行登山。我也曾經想要把健行登山路線用一些指標來描述其難易度,但所牽涉的變數太複雜,不但難以記錄,也難以用簡單的方式表達。例如說,同樣是15%的平均坡度,輕裝重裝走起來就不一樣。此外還要考慮是否有人工台階、還是只有前人踩出來的步階?甚至根本就得要自己找腳點?每一步階的落差?路面是枕木棧道、硬土、爛泥、碎石、亂石、巨石、落葉層覆蓋?(闊葉、針葉、箭竹?)是否濕滑?有無樹根?有無青苔?是否需鑽行(箭竹、倒木、低矮喬木)?路徑是否明顯?路幅寬度?每一項都會影響抬腿爬昇和保持平衡所需的力量、以及前進的速度,不同速度對體力的消耗也不同。單一航段都這麼複雜了,就別提從登山口到山頂會遇到多少種狀況。所以不管爬哪座山,距離和爬昇高度都只能做參考,千萬別小看中級山或是不高的高山,其路線可能非常硬斗。

但單車就不一樣了,大部份的單車路線都是在公路上(多半是柏油路)。公路本身除了坡度急緩之外,其他變因對難度的影響並不大。所以用一個簡單的指標來表示困難度應該是可行的!

mobile01上caf667大的這串文章引起廣泛的討論,利用Excel來分析GPS的航跡資料,得到一個簡化的指標值。其算法也經過多次的改版修正。不過總是會有人感到分析值與實際體會不同,而提出質疑。事實上,該算法確實有一些問題,使得它與事實不符:

一開始caf大直接採用高度-距離圖上的面積,但這有點無厘頭,它不只是誤差很大,而是根本就沒有意義。簡單地舉例,10公里的平路高差是0,所以高度乘以距離也是0。而10公尺長爬1公尺高的坡道,乘起來的面積是10,所以困難度比10公里的平路難無限多倍?同樣坡度的坡爬兩次,難度變成4倍?

後來caf大試著用「功」的概念去表達困難度,但只簡單地採用W = F x S。不過也出現問題,因為:

 W:功
 F:在斜面上所施的力
 S:在斜面上的位移

caf大先假設使單車前進的力為固定(問題之所在),所以困難度只取決於位移。但是拿距離和高度的平方和再開根號就會發現,這只是斜坡道的斜面長而已,完全不能反應困難度。而且在下坡路段仍然有位移,但卻完全不需要出力,理論上應該不需要做功才對(交給重力做功即可)。

接著同樣以功的概念,但又加入了「垂直爬昇 = 位能增量」的觀念。不過隨即又發現變成只算了位能(只跟高度有關)而沒有算水平運動所做的功。

最後最後實在不得已,又增加了一個「施力指數」的概念。這個施力指數更神奇了,先是假設在垂直爬昇方面,所施的力會正比於坡度斜率(以百分比表示)。但隨即又發現,平路沒有坡度,可是也需要用力啊!那那那……用最平緩的坡度1%來表示水平移動所需要用的力好了。結果得到以下算式:
 
 騎乘一個坡道所需做的功約等於 水平方向作的功 + 垂直方向做的功
 
 = {水平距離(公里) * 1} + {垂直距離(公尺) * 坡度}
 
 = 水平距離(公里) + {垂直距離(公尺) * 坡度}
 
 = 騎乘距離(公里) + {爬升距離(公尺) * 坡度}


這當然是一個莫名其妙的式子,把不該乘在一起的東西乘在一起,然後把平路的施力指數1%無緣無故地乘上100之後省略掉。又因為爬昇的施力指數算起來無關痛癢,所以乘上了1000倍,擴大它的影響力……後來又出現了「肌力需求」和「體力需求」,再後面的修正就沒有說明原因了。不過似乎分析的結果大家「還算滿意」,終於有個工具可以事先評估路線之間的相對困難度,所以也沒有再進一步的進化了。

寫到這裡我必須要聲明,我完全沒有嘲諷的意思。事實上我非常佩服caf大的態度和精神,不斷地接受批評、發現錯誤、嘗試改正。而他所整理的航跡資料也都非常具有參考價值,讓我非常感動。所以當天一回到家吃飽飯就馬上撿起計算紙,重拾十年沒用過的數學。也希望補上這篇文章能讓caf大由肉身菩薩變成金身菩薩。

有沒有一個可以表達路線困難度的簡單方法呢?


首先先整理一個概念,到底什麼叫作「」?在單車運動裡,「難」大概可以跟和「」畫上等號。更精準一點,「累」其實包含了「費力」跟「疲勞」兩個意義。前者指的是肌肉收縮運動消耗身體能量;後者則是指身體組織因為工作而產生各種廢物堆積而給人的疲累感,會造成再出力的阻礙。注意這裡所稱的「費力」並不是指肌肉出的力道大小,而是指一段運動行為對人體來說的「負載」。

再來解析「費力」。「費力」這兩個中文字其實又有兩個層面的意義。騎同樣的坡,我們可以慢慢地輕踩龜行,也可以氣喘噓噓地硬衝上去。騎上的是同一個坡,花的時間不同,其「費力」的感受也不一樣。此時的「費力」指的不只是瞬間的腿力,也跟「一段時間內出了多少力」有關。所以「費力」程度有「功率」的概念。

我們也經常在騎完全程之後回想「這條路花了我很多體力」、「那條路我騎起來很輕鬆」,這層意義跟「一天下來累計消耗了多少能量」有關,是「」的概念。

究竟哪一種概念比較符合「費力」的感受呢?其實兩者都有。比方說我在這條路線用野餐速度慢騎(騎了一整天),跟另一條路線用競賽標準狂飇(兩小時就結束了),事後來比較這兩條路線的「困難度」,是不準確、不客觀的。所以,大概可以得到一個簡單的結論:

我們必須在接近的「騎乘方式」下,才能比較不同路線所消耗的「體力多寡」,並藉此表達路線的困難度。

騎乘方式的標準化


所以首先要來決定用「多費力」的騎乘方式,但先得把「費力」程度給量化。對騎單車來說,我們常藉由心跳速度來了解運動的「強度」,也就是所謂的「費力」程度。騎乘動作會影響「費力」程度的因素只有兩個:踩踏腿力踩踏迴轉速。假設每分鐘踩踏60轉,小力踩一分鐘比用力踩一分鐘要輕鬆。如果踩踏的腿力一樣大的話,每分鐘踩踏60轉比較輕鬆,但是每分鐘踩到120轉就會心跳加速氣喘噓噓了。單位時間內由心肺所輸送的氧、身體產生的能量,與肌肉所產生的運動能量是成正比的。而單位時間所輸出的能量就是「功率」,所以我們應該可以用「功率」來表示「費力」的程度。 接下來看功率的式子:

 P1 = F1 x V1
 P2 = F2 x V2

  F1:踩踏的腿力。一般踩踏動作的出力接近於雙缸引擎,但使用卡踏並受過訓練的車手其出力比較均勻、接近多缸引擎(或電動馬達:P)。這裡取一個平均腿力(就把它當作是一顆馬達吧)。
  V1:踩踏的迴轉速。
  P1:踩踏輸出的功率,就是一般所稱的「動力」,汽車常用「馬力」作單位。
  P2:系統(連人帶車)在道路上依某速度前進的「負載」(單位同功率)。

如果忽略系統內的損失(傳動損失),「馬達」的輸出功率應該等於「系統」的負載,系統的負載取決於單車前進的速度和系統所需要輸出的力。這個力指的不是腿力,而是腿力經過踏板、曲柄、大盤、鏈條、飛輪、輪組,透過輪胎與地面產生的反力,使系統前進。

 P1=P2=F2 x V2

  V2:就是單車前進的速度,速度得愈快(V↑)就愈費力(P↑)→合理!
  F2:是騎車所產生的力,要產生愈大的前進力(F↑)就愈費力(P↑)→合理!
  當上坡要出比較大的力時(F↑),必須放慢速度(V↓),才不會比較費力→合理!
  下坡時速度可以很快(V↑),卻只要出一點點力(F↓),感覺並不會比較費力→合理!

為什麼要把F1跟V1轉換成F2跟V2呢?因為F1(踩踏腿力)非固定的值,也不好量(得從鏈條張力倒推)。而V2可以由速度表測得,F2可以由外在的反力來倒推,參考下圖:
單車在平地上前進時,要維持一個固定的速度(先不考慮加減速),則所出的力就是所有阻力的總和。(若出力大於阻力,則速度會加快,反之會減速)這些阻力包括:

 Rr:滾動阻力(rolling resistance
 Ra:風阻力(air resistance
 Rt:傳動阻力(transmission resistance)

若是在坡道上的話,重力在斜面上的分力也會阻止單車前進,所以要加上:

 Fg:重力 於斜面方向的分力


因此功率的式子可以改寫成:

 P = ( Rr + Ra + Rt + Fg) x V


分別來看Rr、Ra、Rt和Fg:

Rr(滾動阻力)是來自於滾動物與地面的變形與還元過程。與「滑動磨擦」不同,滾動阻力所牽涉的因素非常多。對單車來說,滾動阻力主要原因是來自輪胎橡膠的變形。所以輪胎的溝痕、氣壓、胎寬、胎寬高比、胎壁厚、輪徑、輪胎重、車重、騎士體重等等都會影響滾動阻力的大小。國外有專業單車雜誌曾經對各廠牌輪胎作過測試,由該資料可以發現,同一種輪胎在40psi時,滾動阻力可能比100psi高78%。在同樣的胎壓下,胎寬和溝痕設計也可能使滾動阻力的差距達一倍之多。滾動阻力可以用以下公式求得:

 Rr = Crr x Nf
 

  Nf:正向力,可看作一顆輪胎的載重加上其自重。單車路線的坡度通常不會太大,所以先忽略坡度對正向力的影響。  
  Crr:滾動磨擦係數,由實驗得知  

Ra(空氣阻力)是所有阻力中影響最大的。扣除傳動阻力不算,在某個實驗裡,滾動阻力和空氣阻力的比例可以達到12:88!(車手重75kg,騎乘姿勢的前投影面積0.45m2,車重9kg,車速44kph)而車手本身的空氣阻力大約佔75%,車子只佔25%。空氣阻力的算法如下:

 Ra = (ρ x Cw x A x V^2) / 2  

  ρ:空氣密度  
  Cw:風阻係數,由風洞試驗測得  
  A:有效截面積,也是由試驗測得  
  V:速度

注意到空氣阻力正比於速度的平方!車速愈快,空氣阻力上升得愈快!

Rt(傳動阻力)
指的是齒動、鏈條、花鼓等等傳動系統的阻力,大約會消耗車手3~5%的動力。比例上不是很多,先忽略它。

Fg(重力在斜坡面上的分量)
在坡度提昇之後,其影響力會大符超越空氣阻力。它的算法是:

 Fg = Wt x G x sinθ = G x sin(arctan(r))  

  Wt:連車帶人的質量
  G:重力加速度
  θ:坡度(度)
  r:坡度(以百分比表示的坡度,等於高度除以距離)

好,真是落落長。如果我們忽略傳動阻力,式子整理一下會變成:

 P = ( Rr + Ra + Fg) x V


只要代入右邊的數字,就可以得到一個功率值,來表示該旅段的「費力」程度。但這裡有點頭大,因為風阻係數和有效截面積都得由實驗取得(跟車手身材及騎乘動作關係很大,與車架、輪組的設計也有關),而我一時之間在網路上找不到堪用的數據……orz(請熱心網友提供)。

小結


到這裡暫時告一段落。回顧一下,我們以「功率」值來表示一個航段的「費力程度」,因為「輸出動力」與「身體產生能量、肌肉收縮運動的速率」是接近的。在固定單車設定(同一輛單車、同一個車手、同樣的姿勢)且忽略外在風速風向的情況下,這個指數只跟騎乘速度、坡度、和空氣阻力有關。其中空氣阻力又跟騎乘速度有關,所以不能忽略速度的因素。藉由已經量化的「費力程度」,就可以把「騎乘方式」給標準化,待下一篇文章說明。

後記

閉門造車在計算紙上塗塗改改,整理算式。等到車造好了,開始在網上搜尋必要的參數時,發現了一堆早就整理好的網頁(搜尋bicycle science就會有一大把),尤其是有這個動力計算機這個,挺方便的。當然它們都已經做了一些假設來簡化了。驗証了一下並沒有什麼出入,所以前述拉里拉紮談的一大堆應該是合理的。

待續......

4 則留言:

匿名 提到...

整篇非常的數學,讓人頭昏~~

原來那天回家,你就在算這玩意兒啊~~

Unknown 提到...

哈囉

請問有Part 2嗎?@"@

還滿期待的唷

Walker 提到...

有啊
隔天就po了~

Unknown 提到...

您好,我是Gary0408,逛到您寫的這一篇寫的好仔細啊!不知道是否方便讓小弟轉載到小弟的公司網站裡呢?謝謝!