單車路線分析 part 1

前言

在mobile01單車版爬文，偶然發現了這篇文章↓↓↓（其實這篇文章被置頂，想忽略都很難）

[分享] 登山路線分析資料

在單車版指的當然是單車登山，而非健行登山。我也曾經想要把健行登山路線用一些指標來描述其難易度，但所牽涉的變數太複雜，不但難以記錄，也難以用簡單的方式表達。例如說，同樣是15%的平均坡度，輕裝重裝走起來就不一樣。此外還要考慮是否有人工台階、還是只有前人踩出來的步階？甚至根本就得要自己找腳點？每一步階的落差？路面是枕木棧道、硬土、爛泥、碎石、亂石、巨石、落葉層覆蓋？（闊葉、針葉、箭竹？）是否濕滑？有無樹根？有無青苔？是否需鑽行（箭竹、倒木、低矮喬木）？路徑是否明顯？路幅寬度？每一項都會影響抬腿爬昇和保持平衡所需的力量、以及前進的速度，不同速度對體力的消耗也不同。單一航段都這麼複雜了，就別提從登山口到山頂會遇到多少種狀況。所以不管爬哪座山，距離和爬昇高度都只能做參考，千萬別小看中級山或是不高的高山，其路線可能非常硬斗。

但單車就不一樣了，大部份的單車路線都是在公路上（多半是柏油路）。公路本身除了坡度急緩之外，其他變因對難度的影響並不大。所以用一個簡單的指標來表示困難度應該是可行的！

mobile01上caf667大的這串文章引起廣泛的討論，利用Excel來分析GPS的航跡資料，得到一個簡化的指標值。其算法也經過多次的改版修正。不過總是會有人感到分析值與實際體會不同，而提出質疑。事實上，該算法確實有一些問題，使得它與事實不符：

一開始caf大直接採用高度－距離圖上的面積，但這有點無厘頭，它不只是誤差很大，而是根本就沒有意義。簡單地舉例，10公里的平路高差是0，所以高度乘以距離也是0。而10公尺長爬1公尺高的坡道，乘起來的面積是10，所以困難度比10公里的平路難無限多倍？同樣坡度的坡爬兩次，難度變成4倍？

後來caf大試著用「功」的概念去表達困難度，但只簡單地採用W = F x S。不過也出現問題，因為：

　W：功
　F：在斜面上所施的力
　S：在斜面上的位移

caf大先假設使單車前進的力為固定（問題之所在），所以困難度只取決於位移。但是拿距離和高度的平方和再開根號就會發現，這只是斜坡道的斜面長而已，完全不能反應困難度。而且在下坡路段仍然有位移，但卻完全不需要出力，理論上應該不需要做功才對（交給重力做功即可）。

接著同樣以功的概念，但又加入了「垂直爬昇 = 位能增量」的觀念。不過隨即又發現變成只算了位能（只跟高度有關）而沒有算水平運動所做的功。

最後最後實在不得已，又增加了一個「施力指數」的概念。這個施力指數更神奇了，先是假設在垂直爬昇方面，所施的力會正比於坡度斜率（以百分比表示）。但隨即又發現，平路沒有坡度，可是也需要用力啊！那那那……用最平緩的坡度1%來表示水平移動所需要用的力好了。結果得到以下算式：
　
　騎乘一個坡道所需做的功約等於 水平方向作的功 + 垂直方向做的功 　
　= {水平距離(公里) * 1} + {垂直距離(公尺) * 坡度} 　
　= 水平距離(公里) + {垂直距離(公尺) * 坡度} 　
　= 騎乘距離(公里) + {爬升距離(公尺) * 坡度}

這當然是一個莫名其妙的式子，把不該乘在一起的東西乘在一起，然後把平路的施力指數1%無緣無故地乘上100之後省略掉。又因為爬昇的施力指數算起來無關痛癢，所以乘上了1000倍，擴大它的影響力……後來又出現了「肌力需求」和「體力需求」，再後面的修正就沒有說明原因了。不過似乎分析的結果大家「還算滿意」，終於有個工具可以事先評估路線之間的相對困難度，所以也沒有再進一步的進化了。

寫到這裡我必須要聲明，我完全沒有嘲諷的意思。事實上我非常佩服caf大的態度和精神，不斷地接受批評、發現錯誤、嘗試改正。而他所整理的航跡資料也都非常具有參考價值，讓我非常感動。所以當天一回到家吃飽飯就馬上撿起計算紙，重拾十年沒用過的數學。也希望補上這篇文章能讓caf大由肉身菩薩變成金身菩薩。

有沒有一個可以表達路線困難度的簡單方法呢？

首先先整理一個概念，到底什麼叫作「難」？在單車運動裡，「難」大概可以跟和「累」畫上等號。更精準一點，「累」其實包含了「費力」跟「疲勞」兩個意義。前者指的是肌肉收縮運動消耗身體能量；後者則是指身體組織因為工作而產生各種廢物堆積而給人的疲累感，會造成再出力的阻礙。注意這裡所稱的「費力」並不是指肌肉出的力道大小，而是指一段運動行為對人體來說的「負載」。

再來解析「費力」。「費力」這兩個中文字其實又有兩個層面的意義。騎同樣的坡，我們可以慢慢地輕踩龜行，也可以氣喘噓噓地硬衝上去。騎上的是同一個坡，花的時間不同，其「費力」的感受也不一樣。此時的「費力」指的不只是瞬間的腿力，也跟「一段時間內出了多少力」有關。所以「費力」程度有「功率」的概念。

我們也經常在騎完全程之後回想「這條路花了我很多體力」、「那條路我騎起來很輕鬆」，這層意義跟「一天下來累計消耗了多少能量」有關，是「功」的概念。

究竟哪一種概念比較符合「費力」的感受呢？其實兩者都有。比方說我在這條路線用野餐速度慢騎（騎了一整天），跟另一條路線用競賽標準狂飇（兩小時就結束了），事後來比較這兩條路線的「困難度」，是不準確、不客觀的。所以，大概可以得到一個簡單的結論：

我們必須在接近的「騎乘方式」下，才能比較不同路線所消耗的「體力多寡」，並藉此表達路線的困難度。

騎乘方式的標準化

所以首先要來決定用「多費力」的騎乘方式，但先得把「費力」程度給量化。對騎單車來說，我們常藉由心跳速度來了解運動的「強度」，也就是所謂的「費力」程度。騎乘動作會影響「費力」程度的因素只有兩個：踩踏腿力和踩踏迴轉速。假設每分鐘踩踏60轉，小力踩一分鐘比用力踩一分鐘要輕鬆。如果踩踏的腿力一樣大的話，每分鐘踩踏60轉比較輕鬆，但是每分鐘踩到120轉就會心跳加速氣喘噓噓了。單位時間內由心肺所輸送的氧、身體產生的能量，與肌肉所產生的運動能量是成正比的。而單位時間所輸出的能量就是「功率」，所以我們應該可以用「功率」來表示「費力」的程度。 接下來看功率的式子：

　P1 = F1 x V1
　P2 = F2 x V2

　　F1：踩踏的腿力。一般踩踏動作的出力接近於雙缸引擎，但使用卡踏並受過訓練的車手其出力比較均勻、接近多缸引擎（或電動馬達:P）。這裡取一個平均腿力（就把它當作是一顆馬達吧）。
　　V1：踩踏的迴轉速。
　　P1：踩踏輸出的功率，就是一般所稱的「動力」，汽車常用「馬力」作單位。
　　P2：系統（連人帶車）在道路上依某速度前進的「負載」（單位同功率）。

如果忽略系統內的損失（傳動損失），「馬達」的輸出功率應該等於「系統」的負載，系統的負載取決於單車前進的速度和系統所需要輸出的力。這個力指的不是腿力，而是腿力經過踏板、曲柄、大盤、鏈條、飛輪、輪組，透過輪胎與地面產生的反力，使系統前進。

　P1=P2=F2 x V2

　　V2：就是單車前進的速度，速度得愈快（V↑）就愈費力（P↑）→合理！
　　F2：是騎車所產生的力，要產生愈大的前進力（F↑）就愈費力（P↑）→合理！
　　當上坡要出比較大的力時（F↑），必須放慢速度（V↓），才不會比較費力→合理！
　　下坡時速度可以很快（V↑），卻只要出一點點力（F↓），感覺並不會比較費力→合理！

為什麼要把F1跟V1轉換成F2跟V2呢？因為F1（踩踏腿力）非固定的值，也不好量（得從鏈條張力倒推）。而V2可以由速度表測得，F2可以由外在的反力來倒推，參考下圖：
單車在平地上前進時，要維持一個固定的速度（先不考慮加減速），則所出的力就是所有阻力的總和。（若出力大於阻力，則速度會加快，反之會減速）這些阻力包括：

　Rr：滾動阻力（rolling resistance）
　Ra：風阻力（air resistance）
　Rt：傳動阻力（transmission resistance）

若是在坡道上的話，重力在斜面上的分力也會阻止單車前進，所以要加上：

　Fg：重力 於斜面方向的分力

因此功率的式子可以改寫成：

　P = ( Rr + Ra + Rt + Fg) x V

分別來看Rr、Ra、Rt和Fg：

Rr（滾動阻力）是來自於滾動物與地面的變形與還元過程。與「滑動磨擦」不同，滾動阻力所牽涉的因素非常多。對單車來說，滾動阻力主要原因是來自輪胎橡膠的變形。所以輪胎的溝痕、氣壓、胎寬、胎寬高比、胎壁厚、輪徑、輪胎重、車重、騎士體重等等都會影響滾動阻力的大小。國外有專業單車雜誌曾經對各廠牌輪胎作過測試，由該資料可以發現，同一種輪胎在40psi時，滾動阻力可能比100psi高78%。在同樣的胎壓下，胎寬和溝痕設計也可能使滾動阻力的差距達一倍之多。滾動阻力可以用以下公式求得：

　Rr = Crr x Nf 　

　　Nf：正向力，可看作一顆輪胎的載重加上其自重。單車路線的坡度通常不會太大，所以先忽略坡度對正向力的影響。 　
　　Crr：滾動磨擦係數，由實驗得知 　

Ra（空氣阻力）是所有阻力中影響最大的。扣除傳動阻力不算，在某個實驗裡，滾動阻力和空氣阻力的比例可以達到12:88！（車手重75kg，騎乘姿勢的前投影面積0.45m2，車重9kg，車速44kph）而車手本身的空氣阻力大約佔75%，車子只佔25%。空氣阻力的算法如下：

　Ra = (ρ x Cw x A x V^2) / 2 　

　　ρ：空氣密度 　
　　Cw：風阻係數，由風洞試驗測得 　
　　A：有效截面積，也是由試驗測得 　
　　V：速度

注意到空氣阻力正比於速度的平方！車速愈快，空氣阻力上升得愈快！

Rt（傳動阻力）指的是齒動、鏈條、花鼓等等傳動系統的阻力，大約會消耗車手3~5%的動力。比例上不是很多，先忽略它。

Fg（重力在斜坡面上的分量）在坡度提昇之後，其影響力會大符超越空氣阻力。它的算法是：

　Fg = Wt x G x sinθ = G x sin(arctan(r)) 　

　　Wt：連車帶人的質量
　　G：重力加速度
　　θ：坡度（度）
　　r：坡度（以百分比表示的坡度，等於高度除以距離）

好，真是落落長。如果我們忽略傳動阻力，式子整理一下會變成：

　P = ( Rr + Ra + Fg) x V

只要代入右邊的數字，就可以得到一個功率值，來表示該旅段的「費力」程度。但這裡有點頭大，因為風阻係數和有效截面積都得由實驗取得（跟車手身材及騎乘動作關係很大，與車架、輪組的設計也有關），而我一時之間在網路上找不到堪用的數據……orz（請熱心網友提供）。

小結

到這裡暫時告一段落。回顧一下，我們以「功率」值來表示一個航段的「費力程度」，因為「輸出動力」與「身體產生能量、肌肉收縮運動的速率」是接近的。在固定單車設定（同一輛單車、同一個車手、同樣的姿勢）且忽略外在風速風向的情況下，這個指數只跟騎乘速度、坡度、和空氣阻力有關。其中空氣阻力又跟騎乘速度有關，所以不能忽略速度的因素。藉由已經量化的「費力程度」，就可以把「騎乘方式」給標準化，待下一篇文章說明。

後記

閉門造車在計算紙上塗塗改改，整理算式。等到車造好了，開始在網上搜尋必要的參數時，發現了一堆早就整理好的網頁（搜尋bicycle science就會有一大把），尤其是有這個動力計算機跟這個，挺方便的。當然它們都已經做了一些假設來簡化了。驗証了一下並沒有什麼出入，所以前述拉里拉紮談的一大堆應該是合理的。

待續......